6.Ejercicios ecuaciones logarítmicas

 Aquí vamos a mostrar el desarrollo que se debe realizar para la resolución de la actividad propuesta en: 

https://matematicasblg.blogspot.com/

Actividad:

$$\log \left(3\right)+\log (x-1)=\log \left(2\right)+\log (x+1)$$

$$\mathrm{Solución:Sumamos\; los\; logaritmos\; de\; ambos lados\; de\; la\; igualdad\; (multiplicando sus argumentos):log(3\cdot (x-1))=log(2\cdot (x+1))log(3\cdot (x-1))=log(2\cdot (x+1))log(3x-3)=log(2x+2)log(3x-3)=log(2x+2)Igualamos\; los\; argumentos\; y\; resolvemos\; la\; ecuación:3x-3=2x+23x-3=2x+23x-2x=2+33x-2x=2+3x=5x=5La\; solución\; de\; la\; ecuación\; logarítmica\; es: x=5x=5}$$

$$\log (x^2-9)-\log (x-3)=\log \left(3\right)+\log \left(2x\right)$$

solución:

La resta de logaritmos es el logaritmo del cociente de sus argumentos y la suma de logaritmos 

es el logaritmo del producto de sus argumentos:

$$\log \left(\frac{x^2-9}{x-3}\right)=\log (3\cdot 2x)$$

Observad que el numerador de la fracción es el resultado de una suma por diferencia:

$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$

Por tanto, podemos simplificar la fracción:

$$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=x+3$$

La ecuación que queda es:

$$\log (x+3)=\log \left(6x\right)$$

Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:

$$x+3=6x$$

$$3=5x$$

El coeficiente 5 pasa al otro lado dividiendo:

$$x=\frac{3}{5}$$

La solución de la ecuación logarítmica es $x=3/5$.

$$\log (15-2x)=2\log \left(x\right)$$

Solución:

El 2 pasa dentro del logaritmo como exponente:

$$\log (15-2x)=\log \left(x^2\right)$$

Igualamos los argumentos:

$$15-2x=x^2$$

$$x^2+2x-15=0$$

Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:

$$x=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot (-15)}}{2}=$$

$$=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}=$$

$$=\frac{-2\pm 8}{2}=$$

$$=-1\pm 4$$

Las soluciones son $x=3$ y $x=-5$.

La solución negativa no es válida porque el logaritmo de la derecha tendría argumento no positivo.

Por tanto, la solución de la ecuación logarítmica es $x=3$.